Question

函數(shù)f（x）=2cosxsin（x-A）+sinA，（x∈R）在x=

5π

12

處取得最大值，且A∈[0，π]．
（Ⅰ）求角A的大��；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-

π

6

，

π

3

]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）對函數(shù)解析式化簡整理利用x=

5π

12

處取得最大值確定A的值．
（Ⅱ）利用A的值可得函數(shù)解析式，進(jìn)而根據(jù)x的范圍和三角函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)在區(qū)間上的最大和最小值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=2cosxsin（x-A）+sinA
=2sinxcosxcosA-2cos²xsinA+sinA
=sin2xcosA-cos2xsinA
=sin（2x-A），
∵f（x）在x=

5π

12

處取得最大值，
∴2×

5π

12

-A=2kπ+

π

2

，k∈Z，
∴A=-2kπ+

π

3

，k∈Z，
∵A∈[0，π]，
∴A=

π

3

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=sin（2x-

π

3

），
∵x∈[-

π

6

，

π

3

]，
∴（2x-

π

3

）∈[-

2π

3

，

π

3

]，
∴f（x）在區(qū)間[-

π

6

，

π

3

]上的最大值和最小值分別為

3

2

，-1

點(diǎn)評：本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)圖象與性質(zhì)．考查了基礎(chǔ)知識的綜合運(yùn)用．