Question

【題目】已知拋物線()的焦點(diǎn)為，以拋物線上一動(dòng)點(diǎn)為圓心的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)F.若圓的面積最小值為.

(Ⅰ)求的值；

(Ⅱ)當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1且位于第一象限時(shí)，過(guò)作拋物線的兩條弦，且滿足.若直線AB恰好與圓相切，求直線AB的方程.

Answer 1

【答案】(1);(2).

【解析】分析：(Ⅰ)由拋物線的性質(zhì)知，當(dāng)圓心位于拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，圓的面積最小，由可得的值；(Ⅱ)依橫坐標(biāo)相等可得，軸，，設(shè)()，則直線的方程為，代入拋物線的方程得，利用韋達(dá)定理求出的坐標(biāo)，同理求出的坐標(biāo)，求出的斜率為定值，設(shè)直線的方程為，由圓心到直線的距離等于半徑，列方程解得，從而可得直線的方程.

詳解：(Ⅰ)由拋物線的性質(zhì)知，當(dāng)圓心位于拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，圓的面積最小，

此時(shí)圓的半徑為，∴，解得.

(Ⅱ)依題意得，點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，2)，圓的半徑為2.

由(1，0)知，軸.

由知，弦，所在直線的傾斜角互補(bǔ)，∴.

設(shè)()，則直線的方程為，∴，

代入拋物線的方程得，，∴，

∴.

將換成，得，

∴.

設(shè)直線的方程為，即.

由直線與圓相切得，，解得.

經(jīng)檢驗(yàn)不符合要求，故舍去.

∴所求直線的方程為.