Question

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)， 恒成立，求的范圍；

（2）若在處的切線為，求的值.并證明當(dāng))時(shí)， .

Answer 1

【答案】（1）（2）見(jiàn)解析

【解析】【試題分析】（1）當(dāng)時(shí)，由于，故函數(shù)單調(diào)遞增，最小值為.（2）利用切點(diǎn)和斜率為建立方程組，解方程組求得的值.利用導(dǎo)數(shù)證得先證，進(jìn)一步利用導(dǎo)數(shù)證，從而證明原不等式成立.

【試題解析】

解：由，

當(dāng)時(shí)，得.

當(dāng)時(shí)， ，且當(dāng)時(shí)， ，此時(shí).

所以，即在上單調(diào)遞増，

所以，

由恒成立，得，所以.

（2）由得

，且.

由題意得，所以.

又在切線上.

所以.所以.

所以.

先證，即，

令，

則，

所以在是增函數(shù).

所以，即.①

再證，即，

令，

則，

時(shí)， ， 時(shí)， ， 時(shí)， .

所以在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，

所以.

即，所以.②

由①②得，即在上成立.