【題目】已知函數(shù)
，
，
為自然對數(shù)的底數(shù).
（1）當(dāng)
時，證明：
，
；
（2）若函數(shù)
在
上存在兩個極值點，求實數(shù)
的取值范圍.
【答案】(1)證明見解析；(2) 
【解析】
（1）將
帶入解析式,求得導(dǎo)函數(shù),并判斷當(dāng)
時函數(shù)的單調(diào)性,根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求得函數(shù)在時的最小值,即可證明.
（2）先求得導(dǎo)函數(shù),討論在
的不同取值范圍內(nèi)函數(shù)的單調(diào)情況,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)情況判斷其極值的個數(shù),即可求得實數(shù)的取值范圍.
（1）證明:當(dāng)時,
,則
,
當(dāng)時,
,則
,又因為
,
所以當(dāng)時,
,僅
時,
,
所以
在
上是單調(diào)遞減,所以
,即
.
（2）
,因為
,所以
,
,
①當(dāng)
時,
恒成立,所以在
上單調(diào)遞增,沒有極值點.
②當(dāng)
時,在區(qū)間上單調(diào)遞增,
因為
,
.
當(dāng)
時,時,
所以在上單調(diào)遞減,沒有極值點.
當(dāng)
時,
,所以存在
,使
當(dāng)
時,
,
時,
所以在
處取得極小值,
為極小值點.
綜上可知,若函數(shù)在上存在極值點,則實數(shù).
科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】設(shè)函數(shù)
.
（Ⅰ）求證：當(dāng)
時，
；
（Ⅱ）存在，使得
成立，求a的取值范圍；
（Ⅲ）若
對恒成立，求b的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】經(jīng)過多年的運作，“雙十一”搶購活動已經(jīng)演變成為整個電商行業(yè)的大型集體促銷盛宴．為迎接2018年“雙十一”網(wǎng)購狂歡節(jié)，某廠家擬投入適當(dāng)?shù)膹V告費，對網(wǎng)上所售產(chǎn)品進(jìn)行促銷．經(jīng)調(diào)查測算，該促銷產(chǎn)品在“雙十一”的銷售量p萬件與促銷費用x萬元滿足
（其中
，a為正常數(shù)）．已知生產(chǎn)該產(chǎn)品還需投入成本
萬元（不含促銷費用），每一件產(chǎn)品的銷售價格定為
元，假定廠家的生產(chǎn)能力完全能滿足市場的銷售需求．
（1）將該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為促銷費用x萬元的函數(shù)；
（2）促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大？并求出最大利潤的值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】汽車智能輔助駕駛已得到廣泛應(yīng)用，其自動剎車的工作原理是用雷達(dá)測出車輛與前方障礙物之間的距離（并結(jié)合車速轉(zhuǎn)化為所需時間），當(dāng)此距離等于報警距離時就開始報警提醒，等于危險距離時就自動剎車，某種算法（如下圖所示）將報警時間劃分為4段，分別為準(zhǔn)備時間
、人的反應(yīng)時間
、系統(tǒng)反應(yīng)時間
、制動時間
，相應(yīng)的距離分別為
、
、
、
，當(dāng)車速為
（米/秒），且
時，通過大數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析得到下表（其中系數(shù)
隨地面濕滑成都等路面情況而變化，
）.
階段 | 0、準(zhǔn)備 | 1、人的反應(yīng) | 2、系統(tǒng)反應(yīng) | 3、制動 |
時間 |
|
|
|
|
距離 |
|
|
|
|
（1）請寫出報警距離
（米）與車速（米/秒）之間的函數(shù)關(guān)系式
，并求
時，若汽車達(dá)到報警距離時人和系統(tǒng)均不采取任何制動措施，仍以此速度行駛，則汽車撞上固定障礙物的最短時間（精確到0.1秒）；
（2）若要求汽車不論在何種路面情況下行駛，報警距離均小于80米，則汽車的行駛速度應(yīng)限制在多少米/秒以下？合多少千米/小時？
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】對于任意
，若數(shù)列
滿足
，則稱這個數(shù)列為“K數(shù)列”.
（1）已知數(shù)列：1，
，
是“K數(shù)列”，求實數(shù)m的取值范圍；
（2）是否存在首項為-1的無窮等差數(shù)列
為“K數(shù)列”，且其前n項和
滿足：
，若存在，求出的通項公式；若不存在，請說明理由；
（3）已知各項均為正整數(shù)的等比數(shù)列（至少有4項）為“K數(shù)列”，數(shù)列
不是“K數(shù)列”，若
，是否存在，使
為“K數(shù)列”？若存在，請求出，若不存在，請說明理由.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》(1261年）一書中，用如圖
所示的三角形，解釋二項和的乘方規(guī)律.在歐洲直到1623年以后，法國數(shù)學(xué)家布萊士帕斯卡的著作（1655年)介紹了這個三角形，近年來，國外也逐漸承認(rèn)這項成果屬于中國，所以有些書上稱這是“中國三角形”
，如圖.17世紀(jì)德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨發(fā)現(xiàn)了“萊布尼茨三角形”，如圖
.在楊輝三角中，相鄰兩行滿足關(guān)系式：
，其 中
是行數(shù)，
.請類比上式，在萊布尼茨三角形中相鄰兩行滿足的關(guān)系式是__________．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
.
（1）討論函數(shù)
的單調(diào)性；
（2）若
，對任意
，不等式
恒成立，求實數(shù)
的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】將函數(shù)
的圖象向右平移
個單位長度得到
的圖象，若的對稱中心為坐標(biāo)原點，則關(guān)于函數(shù)
有下述四個結(jié)論：
①的最小正周期為
②若的最大值為2，則
③在
有兩個零點 ④在區(qū)間
上單調(diào)
其中所有正確結(jié)論的標(biāo)號是（ ）
A.①③④B.①②④C.②④D.①③
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量
，設(shè)
，向量
．
（1）若
，求向量
與
的夾角；
（2）若
對任意實數(shù)
都成立，求實數(shù)
的取值范圍．
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