Question

【題目】對于任意，若數(shù)列滿足，則稱這個(gè)數(shù)列為“K數(shù)列”.

（1）已知數(shù)列：1，，是“K數(shù)列”，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

（2）是否存在首項(xiàng)為-1的無窮等差數(shù)列為“K數(shù)列”，且其前n項(xiàng)和滿足：，若存在，求出的通項(xiàng)公式；若不存在，請說明理由；

（3）已知各項(xiàng)均為正整數(shù)的等比數(shù)列（至少有4項(xiàng)）為“K數(shù)列”，數(shù)列不是“K數(shù)列”，若，是否存在，使為“K數(shù)列”？若存在，請求出，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）這樣的等差數(shù)列不存在，詳見解析（3）答案不唯一，具體見解析

【解析】

(1)直接根據(jù)“K數(shù)列”的定義列出關(guān)于的不等式求解即可.

(2) 假設(shè)存在等差數(shù)列符合要求,設(shè)公差為d,再求得,再利用分析公差滿足的條件是否能夠成立即可.

(3) 設(shè)數(shù)列的公比為q,,再根據(jù)等比數(shù)列為“K數(shù)列”,數(shù)列不是“K數(shù)列”求出前兩項(xiàng)的關(guān)系,再根據(jù)前兩項(xiàng)的關(guān)系分情況討論是否能夠滿足為“K數(shù)列”即可.

(1)由題意得,①,②

解①得；解②得或.

所以,故實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

(2)假設(shè)存在等差數(shù)列符合要求,設(shè)公差為d,則,

由,得,

由題意,得對均成立,

即.

①當(dāng)時(shí),；

②當(dāng)時(shí),,

因?yàn)?/span>,

所以,與矛盾,

故這樣的等差數(shù)列不存在.

(3)設(shè)數(shù)列的公比為q,則,

因?yàn)?/span>的每一項(xiàng)均為正整數(shù),且,

所以,且.

因?yàn)?/span>,

所以在中,“”為最小項(xiàng),

同理,在中,為最小項(xiàng).

由為“K數(shù)列”,只需,即,

又因?yàn)?/span>不是“K數(shù)列”,且“”為最小項(xiàng),所以,即,

由數(shù)列的每一項(xiàng)均為正整數(shù),可得,

所以,或,,

①當(dāng),時(shí),,則,

令,則,

又,

所以為遞增數(shù)列,即,

所以,

因?yàn)?/span>,

所以對任意的,都有,

即數(shù)列為“K數(shù)列”.

②當(dāng),時(shí),,則.因?yàn)?/span>,

所以數(shù)列不是“K數(shù)列”.

綜上：當(dāng)時(shí),數(shù)列為“K數(shù)列”,

當(dāng)時(shí),數(shù)列不是“K數(shù)列”.