Question

【題目】已知{an}為等比數(shù)列，a1=1，a4=27； Sn為等差數(shù)列{bn} 的前n 項(xiàng)和，b1=3，S5=35．

（1）求{an}和{bn} 的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)數(shù)列{cn} 滿足cn=anbn（n∈N*），求數(shù)列{cn} 的前n 項(xiàng)和Tn．

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】試題分析：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，可得，解得，設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，可得，解得，從而可得結(jié)果；（2）由（1）可得，利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的求和公式即可得出.

試題解析：（1）設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，∵a1=1，a4=27；∴1×q3=27，解得q=3．

∴．

設(shè)等差數(shù)列{bn} 的公差為d，∵b1=3，S5=35．∴5×3+=35，解得d=2．

∴bn=3+2（n﹣1）=2n+1．

（2）cn=anbn=（2n+1）3n﹣1．

∴數(shù)列{cn} 的前n 項(xiàng)和Tn=3+5×3+7×32+…+（2n+1）3n﹣1．

3Tn=3×3+5×32+…+（2n﹣1）3n﹣1+（2n+1）3n．

∴﹣2Tn=3+2×（3+32+…+3n﹣1）﹣（2n+1）3n=3+﹣（2n+1）3n．

∴Tn=n3n．

【 方法點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項(xiàng)以及錯(cuò)位相減法求數(shù)列的的前 項(xiàng)和，屬于中檔題.一般地，如果數(shù)列是等差數(shù)列， 是等比數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和時(shí)，可采用“錯(cuò)位相減法”求和，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列的公比，然后作差求解, 在寫出“”與“” 的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“”的表達(dá)式.