Question

【題目】已知拋物線(xiàn)上一點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離為.

（1）求拋物線(xiàn)M的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)F斜率為k的直線(xiàn)l與M相交于C，D兩點(diǎn)，線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)與M相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)分別為線(xiàn)段和的中點(diǎn).

①試用k表示點(diǎn)的坐標(biāo)；

②若以線(xiàn)段為直徑的圓過(guò)點(diǎn)C，求直線(xiàn)l的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）①；②，或

【解析】

（1）根據(jù)題意可得且，解得，進(jìn)而得出拋物線(xiàn)方程．

（2）①點(diǎn)的坐標(biāo)為，寫(xiě)出直線(xiàn)的方程為：，聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的方程得，設(shè)，，，，則由韋達(dá)定理得，，進(jìn)而得中點(diǎn)的坐標(biāo)，再寫(xiě)出線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的方程：，聯(lián)立它與拋物線(xiàn)方程，同理得線(xiàn)段中點(diǎn)的坐標(biāo)．

②根據(jù)題意得，，在中，由勾股定理得，即，分別由拋物線(xiàn)定義，弦長(zhǎng)公式，兩點(diǎn)之間得距離公式表示，，，代入化簡(jiǎn)解得，進(jìn)而得直線(xiàn)的方程．

解：（1）根據(jù)拋物線(xiàn)的定義和已知條件，得，故，

由點(diǎn)Q在M上，可知，把代入，得.

所以?huà)佄锞�(xiàn)M的方程為：.

（2）①由（1）可知點(diǎn)F的坐標(biāo)為，所以直線(xiàn)l的方程為：.

聯(lián)立消去y得，

設(shè)，則，所以，

所以線(xiàn)段中點(diǎn).

因?yàn)?/span>過(guò)點(diǎn)E且與l垂直，所以的方程為：

聯(lián)立消去y，得，顯然成立.

設(shè)，則，所以，

所以線(xiàn)段中點(diǎn)

②因?yàn)橐跃�(xiàn)段為直徑的圓過(guò)點(diǎn)C，所以，

在中，，

即.

根據(jù)拋物線(xiàn)定義，得，

又

，

，

所以，由，

得，

解方程得，所以直線(xiàn)l的方程為，或.