【題目】已知函數(shù)
，
.
（1）求
的極值；
（2）若方程
有三個(gè)解，求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
【答案】（1）當(dāng)
時(shí)，極小值
；當(dāng)
時(shí)，無極值；當(dāng)
時(shí)，極大值；（2）
【解析】
（1）求得
的定義域和導(dǎo)函數(shù)，對(duì)分成
三種情況進(jìn)行分類討論 的極值.
（2）構(gòu)造函數(shù)
，通過
的導(dǎo)函數(shù)
研究的零點(diǎn)，對(duì)分成
進(jìn)行分類討論，結(jié)合有三個(gè)零點(diǎn)，求得的取值范圍.
（1）的定義域?yàn)?/span>
，
，
當(dāng)時(shí)，在
上遞減，在
上遞增，所以在
處取得極小值，
當(dāng)時(shí)，
，所以無極值，
當(dāng)時(shí)，在上遞增，在上遞減，所以在處取得極大值.
（2）設(shè)，即
，
.
①若
，則當(dāng)
時(shí)，
，單調(diào)遞減，當(dāng)
時(shí)，
，單調(diào)遞增，至多有兩個(gè)零點(diǎn).
②若
，則
，
（僅
）.單調(diào)遞增，至多有一個(gè)零點(diǎn).
③若
，則
，當(dāng)
或時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)
時(shí)，，單調(diào)遞減，要使有三個(gè)零點(diǎn)，必須有
成立.
由
，得
，這與矛盾，所以不可能有三個(gè)零點(diǎn).
④若
，則
.當(dāng)或
時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)
時(shí)，，單調(diào)遞減，要使有三個(gè)零點(diǎn)，必須有
成立，
由
，得
，由
及，得
，
.
并且，當(dāng)
時(shí)，
，
，
，
.
綜上，使有三個(gè)零點(diǎn)的的取值范圍為.
備戰(zhàn)中考寒假系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】根據(jù)下列關(guān)系式，算出數(shù)列的前4項(xiàng)，然后猜想它的通項(xiàng)，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想.
（1）
；
（2）
；
（3）
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】定義：如果數(shù)列
的任意連續(xù)三項(xiàng)均能構(gòu)成一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，則稱為“三角形”數(shù)列，對(duì)于“三角形”數(shù)列，如果函數(shù)
使得
仍為一個(gè)“三角形”數(shù)列，則稱是數(shù)列的“保三角形函數(shù)”，
.
（1）已知是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，若
是數(shù)列的“保三角形函數(shù)”，求
的取值范圍；
（2）已知數(shù)列
的首項(xiàng)為2010，
是數(shù)列的前
項(xiàng)和，且滿足
，證明是“三角形”數(shù)列；
（3）根據(jù)“保三角形函數(shù)的定義，對(duì)函數(shù)
，和數(shù)列1，
提出一個(gè)正確的命題，并說明理由.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在直角坐標(biāo)平面
上的一列點(diǎn)
，簡(jiǎn)記為
．若由
構(gòu)成的數(shù)列
滿足
，其中
為方向與
軸正方向相同的單位向量，則稱為
點(diǎn)列．
（1）判斷
，是否為點(diǎn)列，并說明理由；
（2）若為點(diǎn)列，且點(diǎn)
在點(diǎn)
的右上方．任取其中連續(xù)三點(diǎn)
，判斷
的形狀（銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形），并予以證明；
（3）若為點(diǎn)列，正整數(shù)
，滿足
，求證：
．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，已知四棱錐
中，底面
為菱形，
平面， 
為
上一點(diǎn)，
為菱形對(duì)角線的交點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：平面
平面
；
（Ⅱ）若
，四棱錐
的體積是四棱錐的體積的
，求二面角
的正切值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知拋物線
上一點(diǎn)
到焦點(diǎn)F的距離為
.
（1）求拋物線M的方程；
（2）過點(diǎn)F斜率為k的直線l與M相交于C，D兩點(diǎn)，線段
的垂直平分線
與M相交于
兩點(diǎn)，點(diǎn)
分別為線段和
的中點(diǎn).
①試用k表示點(diǎn)
的坐標(biāo)；
②若以線段為直徑的圓過點(diǎn)C，求直線l的方程.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】正四棱錐P﹣ABCD的底面邊長(zhǎng)為2,側(cè)棱長(zhǎng)為2
,過點(diǎn)A作一個(gè)與側(cè)棱PC垂直的平面α,則平面α被此正四棱錐所截的截面面積為_____,平面α將此正四棱錐分成的兩部分體積的比值為_____.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】今年2月份，我國(guó)武漢地區(qū)爆發(fā)了新冠肺炎疫情，為了預(yù)防疫情蔓延，全國(guó)各大醫(yī)藥廠商紛紛加緊生產(chǎn)口罩，某醫(yī)療器械生產(chǎn)工廠為了解目前的生產(chǎn)力，統(tǒng)計(jì)了每個(gè)工人每小時(shí)生產(chǎn)的口罩?jǐn)?shù)量（單位：箱），得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中每個(gè)工人每小時(shí)的產(chǎn)量均落在[10，70]內(nèi)，數(shù)據(jù)分組為[10，20）、[20，30）、[30，40）、[40，50）、[50，60）、
，已知前三組的頻率成等差數(shù)列，第三組、第四組、第五組的頻率成等比數(shù)列，最后一組的頻率為
．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）在最后三組中采用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取了6人，現(xiàn)從這6人中隨機(jī)抽出兩人對(duì)其它小組的工人進(jìn)行生產(chǎn)指導(dǎo)，求這兩人來自同一小組的概率．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】商家通常依據(jù)“樂觀系數(shù)準(zhǔn)則”確定商品銷售價(jià)格，及根據(jù)商品的最低銷售限價(jià)a，最高銷售限價(jià)b（b＞a）以及常數(shù)x（0＜x＜1）確定實(shí)際銷售價(jià)格c=a+x（b﹣a），這里，x被稱為樂觀系數(shù)．
經(jīng)驗(yàn)表明，最佳樂觀系數(shù)x恰好使得（c﹣a）是（b﹣c）和（b﹣a）的等比中項(xiàng)，據(jù)此可得，最佳樂觀系數(shù)x的值等于 ．
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