Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)且恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）的定義域?yàn)?/span>，對(duì)求導(dǎo)，分、和三種情況，分別討論，可求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）由（1）知有兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，等價(jià)于方程有兩個(gè)不等正根，可求得，，及，，由恒成立，可得恒成立，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)并判斷單調(diào)性可知，令即可.

（1）的定義域?yàn)?/span>，求導(dǎo)得，

令，得，，

若時(shí)，，在上恒成立，單調(diào)遞增；

若時(shí)，，方程的兩根為，.

當(dāng)時(shí)，，，則時(shí)，，故在單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，則或時(shí)，，故在和上單調(diào)遞增.

綜上，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為.

（2）由（1）知有兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，等價(jià)于方程的有兩個(gè)不等正根

，，，，

此時(shí)不等式恒成立，等價(jià)于對(duì)恒成立，

可化為恒成立，

令，

則，

，，，

在恒成立，在上單調(diào)遞減，

，

.

故實(shí)數(shù)的取值范圍是.