Question

如圖，圓柱內(nèi)有一個(gè)三棱柱，三棱柱的底面為圓柱底面的內(nèi)接三角形，且AB是圓O直徑。

（Ⅰ）證明：平面平面；
（Ⅱ）設(shè)AB=，在圓柱內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn)，記該點(diǎn)取自于三棱柱內(nèi)的概率為。
（i）當(dāng)點(diǎn)C在圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求的最大值；
（ii）記平面與平面所成的角為，當(dāng)取最大值時(shí)，求的值。

Answer 1

（Ⅰ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823143855650264.gif" style="vertical-align:middle;" />平面ABC，平面ABC，所以，
因?yàn)锳B是圓O直徑，所以，又，所以平面，
而平面，所以平面平面。
（Ⅱ）（i）設(shè)圓柱的底面半徑為，則AB=，故三棱柱的體積為
=，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823143856259616.gif" style="vertical-align:middle;" />，
所以=，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
從而，而圓柱的體積，
故=當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
所以的最大值是。
（ii）由（i）可知，取最大值時(shí)，，于是以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），則C（r，0，0），B（0，r，0），（0，r，2r），
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823143855947245.gif" style="vertical-align:middle;" />平面，所以是平面的一個(gè)法向量，
設(shè)平面的法向量，由，故，
取得平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823143856727352.gif" style="vertical-align:middle;" />，
所以。