Question

（12分）已知橢圓.過點(diǎn)作圓的切線交橢圓于
，兩點(diǎn).
（1）求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率；
（2）將表示為的函數(shù)，并求的最大值.

Answer 1

（1）橢圓G的焦點(diǎn)坐標(biāo)為離心率為
（2）當(dāng)時(shí)，|AB|=2，所以|AB|的最大值為2.

解析試題分析：(1)由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知a=2,b=1,,顯然易求焦點(diǎn)坐標(biāo)及離心率，但要注意焦點(diǎn)在x軸上.
（2）因?yàn)檫^點(diǎn)(m,0)作圓的切線，所以此點(diǎn)在圓上或在圓外，因而要對m的范圍進(jìn)行討論.
然后設(shè)過點(diǎn)(m,0)的直線l的方程，根據(jù)直線l與圓相切，可得直線l的斜率，再與橢圓聯(lián)立，利用韋達(dá)定理和判別式，弦長公式求得弦長|AB|與m的函數(shù)關(guān)系式，再利用基本不等式求得最大值.
（1）由已知得所以
所以橢圓G的焦點(diǎn)坐標(biāo)為離心率為
（2）由題意知，.
當(dāng)時(shí)，切線的方程，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為
此時(shí)當(dāng)m=－1時(shí)，同理可得
當(dāng)時(shí)，設(shè)切線的方程為
由
設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則

又由與圓
所以

由于當(dāng)時(shí)，所以.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/e1/3/unkq8.png" style="vertical-align:middle;" />且當(dāng)時(shí)，|AB|=2，所以|AB|的最大值為2.
考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系，直線與橢圓的位置關(guān)系，弦長公式，基本不等式求最值.
點(diǎn)評：本小題第（2）問綜合性解決起來難度大，第一個(gè)要注意的時(shí)點(diǎn)(m,0)在圓上或圓外，因而要對m=1,m=-1,|m|>1三情況進(jìn)行討論求|AB|的弦長，表示出弦長|AB|關(guān)于m的函數(shù)表達(dá)式后還要注意適用基本不等式求最值.