Question

(12分)
已知函數(shù)（其中是自然對數(shù)的底數(shù)，為正數(shù)）
（I）若在處取得極值，且是的一個零點，求的值；
（II）若，求在區(qū)間上的最大值；
（III）設函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，求的取值范圍．

Answer 1

（I）
（II）時，單調遞減；時，單調遞增

當，即時，
當，即時，
（III）

(I)由可得關于k的方程,解出k值.
(II)先求導,然后利用導數(shù)研究f(x)的單調性極值和最值.
(III)本小題的實質是在區(qū)間上恒成立,即.
解法一：
（I）由已知


（II）

由此得時，單調遞減；時，單調遞增

當，即時，
當，即時，
（III）
在在是減函數(shù)，
在上恒成立
即在上恒成立
在上恒成立
又當且僅當時等號成立.

解法二；（I）,（II）同解法一
（III）
在是減函數(shù)，
在上恒成立
即在上恒成立
不妨設





由于無解.
綜上所述，得出，即的取值范圍是