Question

已知函數(shù)　（為實(shí)常數(shù)）。
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間上無(wú)極值，求的取值范圍；
（Ⅲ）已知且，求證: .

Answer 1

（Ⅰ）在時(shí)遞增；在時(shí)遞減。
（Ⅱ）（Ⅲ）見(jiàn)解析

本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)極值和單調(diào)性方面的運(yùn)用以及利用導(dǎo)數(shù)來(lái)證明不等式的綜合問(wèn)題。
（1）因?yàn)楹瘮?shù)　（為實(shí)常數(shù)）。當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求解導(dǎo)數(shù)，然后解不等式得到結(jié)論。
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823231819575890.png" style="vertical-align:middle;" />，然后對(duì)于參數(shù)a進(jìn)行分類(lèi)討論得到單調(diào)性和極值問(wèn)題的判定。
（3）由（Ⅱ）知，當(dāng)時(shí)，在處取得最大值.
即.
利用放縮法得打結(jié)論。
解：(I)當(dāng)時(shí)，，其定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823231819934566.png" style="vertical-align:middle;" />；
，
令，并結(jié)合定義域知； 令，并結(jié)合定義域知；
故在時(shí)遞增；在時(shí)遞減。
（II）,
①當(dāng)時(shí)，，在上遞減，無(wú)極值；
②當(dāng)時(shí)，在上遞增，在上遞減，故在處取得極大值.要使在區(qū)間上無(wú)極值，則.
綜上所述，的取值范圍是.  
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當(dāng)時(shí)，在處取得最大值.
即.
令，則，即　，