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          【題目】已知函數

          1)求函數的零點;

          2)設函數的圖象與函數的圖象交于兩點,求證:;

          3)若,且不等式對一切正實數x恒成立,求k的取值范圍.

          【答案】(1)x=1 (2)證明見解析 (3)

          【解析】

          1)令,根據導函數確定函數的單調區(qū)間,求出極小值,進而求解;

          2)轉化思想,要證 ,即證 ,即證,構造函數進而求證;

          3)不等式 對一切正實數恒成立,,設,分類討論進而求解.

          解:(1)令,所以,

          時,,上單調遞增;

          時,單調遞減;

          所以,所以的零點為

          2)由題意 ,

          要證 ,即證,即證,

          ,則,由(1)知,當且僅當時等號成立,所以,

          ,所以原不等式成立.

          3)不等式 對一切正實數恒成立,

          ,

          ,△

          ①當△時,即時,恒成立,故單調遞增.

          于是當時,,又,故

          時,,又,故,

          又當時,,

          因此,當時,,

          ②當△,即時,設的兩個不等實根分別為,

          ,于是,

          故當時,,從而單調遞減;

          時,,此時,于是,

          舍去,

          綜上,的取值范圍是

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