Question

【題目】已知兩個(gè)函數(shù)，

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間上的最大值；

（Ⅱ）求證：對(duì)任意，不等式都成立．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）分類討論，詳見解析；（Ⅱ）證明見解析．

【解析】

（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)得出在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)，然后分和兩種情況討論

（Ⅱ）求出的最小值和的最大值，將問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)最值之間大小關(guān)系的判斷即可.

（Ⅰ）由得：

∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，

∴在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)

①當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上為增函數(shù)，

的最大值為

②當(dāng)時(shí)，

在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)

∴的最大值為

下面比較與大小

∵

∴當(dāng)時(shí)，，

故在區(qū)間上的最大值為

當(dāng)時(shí)，，

在區(qū)間上的最大值為

綜上可知：當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上的最大值為

當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上的最大值為

（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)

所以當(dāng)時(shí)，

又由得：

∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，

∴在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)

所以當(dāng)時(shí)，

綜上可知，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立．