Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（2）求函數(shù)的零點(diǎn)和極值；

（3）若對(duì)任意，都有成立，求實(shí)數(shù)的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）零點(diǎn)，極小值；（3）1.

【解析】分析：（1）求出導(dǎo)函數(shù)，切線切線方程為，化簡即可；

（2）由得極值點(diǎn)，討論極值點(diǎn)兩邊的正負(fù)，得極值；

（3）求出在上的最小值和最大值，由最大值－最小值求得，可結(jié)合要求的最小值，討論的單調(diào)性及最值．

詳解：（1）因?yàn)?/span>，所以．

因?yàn)?/span>，所以曲線在處的切線方程為.

（2）令，解得，

所以的零點(diǎn)為.

由解得，

則及的情況如下：

		2
	－	0	+

所以函數(shù)在時(shí),取得極小值.

（3）法一：

當(dāng)時(shí)，.

當(dāng)時(shí)，.

若，由（2）可知的最小值為，的最大值為，

所以“對(duì)任意，有恒成立”等價(jià)于

即， 解得. 所以的最小值為1.

法二：當(dāng)時(shí)，. 當(dāng)時(shí)，.

且由（2）可知，的最小值為，

若，令，則

而，不符合要求，

所以. 當(dāng)時(shí)，,,

所以，即滿足要求，

綜上，的最小值為1.