Question

設(shè)橢圓的中心在原點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，焦點(diǎn)在x軸上，一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)的連線互相垂直，且此焦點(diǎn)與長(zhǎng)軸上較近的端點(diǎn)距離為4(

2

-1)，
（1）求此橢圓方程，并求出準(zhǔn)線方程；
（2）若P在左準(zhǔn)線l上運(yùn)動(dòng)，求tan∠F₁PF₂的最大值．

Answer 1

（1）設(shè)所求橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）
如圖，
B₁F₁⊥B₂F₁，
且|A1F1|=4(

2

-1)
∴

a-c=4( 2 -1) b=c a2=b2+c2

（5分）
∴a²=32，b²=16（7分）
∴橢圓方程為

x2

32

+

y2

16

=1，準(zhǔn)線方程為x=±8（9分）
（2）設(shè)P（-8，t），∵F₁（-4，0），F(xiàn)₂（4，0）
則tan∠F1PF2=|

8t

48+t2

|=|

8

48 t +t

|≤

8

2 48

=

4

4 3

=

3

3

當(dāng)P（-8，±4

3

）最大值為

3

3

（13分）