Question

【題目】設(shè)函數(shù)．

求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值．

若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)見解析； (2)

【解析】

求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值即可；

通過討論a的范圍，若滿足在區(qū)間內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，需滿足，解出即可．

由，得，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)無極大值，也無極小值；

當(dāng)時(shí)，由，得或舍去．

于是，當(dāng)x變化時(shí)，與的變化情況如下表：

x
		0
	遞減		遞增

所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是．

函數(shù)在處取得極小值，無極大值．

綜上可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，函數(shù)既無極大值也無極小值；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間為，

函數(shù)有極小值，無極大值．

當(dāng)時(shí)，由知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

故函數(shù)在區(qū)間上至多有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意．

當(dāng)時(shí)，由知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，

所以函數(shù)在上的最小值為．

若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，

則需滿足，即整理得，所以．

故所求a的取值范圍為