Question

【題目】設(shè)函數(shù).① 若，則的極小值為___； ② 若存在使得方程無實(shí)根，則的取值范圍是___．

Answer 1

【答案】

【解析】

①判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)極值的定義進(jìn)行判斷即可

②根據(jù)分段函數(shù)的表達(dá)式求出函數(shù)f（x）的取值范圍，若方程無實(shí)根，等價(jià)為f（x）與y＝m沒有交點(diǎn)，利用函數(shù)與方程的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．

①當(dāng)a＝0時(shí)，當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）＝x為增函數(shù)，

當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＝x2﹣2x﹣4，對稱軸為x＝1，

當(dāng)0＜x≤1時(shí)，f（x）為減函數(shù)，當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）為增函數(shù)，

即當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)取得極小值，此時(shí)f（1）＝1﹣2﹣4＝﹣5，

②∵當(dāng)x≤a時(shí)，f（x）≤a，

當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）→+∞，

若存在m使得方程f（x）﹣m＝0無實(shí)根，即存在m使得方程f（x）＝m無實(shí)根，

則說明函數(shù)f（x）的值域不是R，

即當(dāng)x＞a時(shí)，f（x）＞a，即可．

若a＜1，當(dāng)x＞a時(shí)，f（x）的最小值為f（1）＝1﹣2﹣4＝﹣5，

此時(shí)只要a＜﹣5即可，

若a≥1，此時(shí)f（x）在（a，+∞）為增函數(shù)，則f（x）＞f（a）＝a2﹣2a﹣4，

由a2﹣2a﹣4＞a，即a2﹣3a﹣4＞0，得（a+1）（a﹣4）＞0，

則a＞4或a＜﹣1（舍），

綜上a＞4或a＜﹣5，

即實(shí)數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，﹣5）∪（4，+∞），

故答案為：﹣5，（﹣∞，﹣5）∪（4，+∞）.