Question

【題目】已知函數(shù)，其中，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（1）若是上的增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）若，證明：.

Answer 1

【答案】（1）（2）見(jiàn)解析

【解析】

（1）由是上的增函數(shù)等價(jià)于恒成立，得，求的最大值，即可得到本題答案；

（2）由，證明當(dāng)時(shí)，的最小值大于0，即可得到本題答案.

解：（1），是上的增函數(shù)等價(jià)于恒成立.

令，得，令.以下只需求的最大值.

求導(dǎo)得，令，，

是上的減函數(shù)，又，故1是的唯一零點(diǎn)，

當(dāng)，，，遞增；

當(dāng)，，，遞減；

故當(dāng)時(shí)，取得極大值且為最大值，所以.

（2），令，

以下證明當(dāng)時(shí)，的最小值大于0.

求導(dǎo)得.

①當(dāng)時(shí)，，；

②當(dāng)時(shí)，，令.

則，又，

取且使，即，則，

因?yàn)?/span>，故存在唯一零點(diǎn)，即有唯一的極值點(diǎn)且為極小值點(diǎn)，又，且，即，

故，因?yàn)?/span>，故是上的減函數(shù).

所以，所以.

綜上，當(dāng)時(shí)，總有.