Question

【題目】已知拋物線C：（）的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離為2，直線過點(diǎn)F且與拋物線交于M、N兩點(diǎn)，直線過坐標(biāo)原點(diǎn)O及點(diǎn)M且與l交于點(diǎn)P，點(diǎn)Q在線段上.

(1)求直線的斜率；

(2)若，，成等差數(shù)列，求點(diǎn)Q的軌跡方程.

Answer 1

【答案】(1)0；(2)（）.

【解析】

(1)先求拋物線方程，再設(shè)直線方程以及M,N坐標(biāo)，解得P點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)斜率公式化簡直線的斜率，最后聯(lián)立直線方程與拋物線方程，利用韋達(dá)定理代入化簡即得結(jié)果；

(2) 設(shè)，根據(jù)等差中項(xiàng)性質(zhì)以及弦長公式化簡條件得，再根據(jù)（1）中韋達(dá)定理化簡右邊式子，最后根據(jù)代入化簡得點(diǎn)Q的軌跡方程.

(1)依題意，可得，所以拋物線C：.

設(shè)直線：，聯(lián)立，得.

設(shè)，，易知，，則，，

直線：.

因?yàn)闇?zhǔn)線l：，故.

故直線的斜率為.

(2)設(shè)（）.

由(1)可得，，.

由題可知，

得.

因?yàn)?/span>，所以

化簡可得（）.

故點(diǎn)Q的軌跡方程為（）.