Question

【題目】已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，離心率為，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，

（1）求橢圓的方程；

（2）求的取值范圍；

（3）設(shè)直線(xiàn)和的斜率分別為和，求證:為定值.

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)離心率和代入橢圓方程可求得和，進(jìn)而求得，方程可得；

（2）由題意顯然直線(xiàn)方程為，聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓的方程消去得.因?yàn)橹本�(xiàn)與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，∴，可得，再用坐標(biāo)表示出，即可求取值范圍.

（3）由（2）用坐標(biāo)表示出化簡(jiǎn)即可.

（1）由題意得，解得，.∴橢圓的方程為.

（2）由題意顯然直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)的方程為，

由得.

∵直線(xiàn)與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，

∴，解得.

設(shè)，的坐標(biāo)分別為，，則，，

又，，

，

∵，∴，

∴的范圍為.

（3）由（2）得

所以為定值，