Question

【題目】已知雙曲線與橢圓有相同焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)(4,6)．

(1)求雙曲線方程；

(2)若雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別是F1，F2，試問在雙曲線上是否存在點(diǎn)P，使得|PF1|＝5|PF2|.請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）不存在

【解析】

（1）由題得，解方程組即得雙曲線方程；（2）假設(shè)在雙曲線上存在點(diǎn)P，使得|PF1|＝5|PF2|，則點(diǎn)P只能在右支上．先求出|PF1|＝5，|PF2|＝1，分析得到此種情況不存在.

(1)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，且，即焦點(diǎn)為(±4,0)，

于是可設(shè)雙曲線方程為，

則有解得a2＝4，b2＝12，

故雙曲線方程為.

(2)假設(shè)在雙曲線上存在點(diǎn)P，使得|PF1|＝5|PF2|，則點(diǎn)P只能在右支上．由于在雙曲線中，由雙曲線定義知，|PF1|-5|PF2|＝2a＝4，于是得|PF1|＝5，|PF2|＝1.

但當(dāng)點(diǎn)P在雙曲線右支上時，點(diǎn)P到左焦點(diǎn)F1的距離的最小值應(yīng)為a＋c＝6，

故不可能有|PF1|＝5，即在雙曲線上不存在點(diǎn)P，使得|PF1|＝5|PF2|