Question

【題目】已知橢圓：的離心率為，右焦點(diǎn)到直線的距離為.

（1）求橢圓的方程；

（2）過點(diǎn)作與坐標(biāo)軸不垂直的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，在軸上是否存在點(diǎn)，使得為正三角形，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）.（2）在軸上是存在點(diǎn)，坐標(biāo)為，

【解析】

（1）因為橢圓：的離心率為，可得，右焦點(diǎn)到直線的距離為，故，即可求得答案；

（2）設(shè)線段的中點(diǎn)，若是正三角形，且，結(jié)合已知，即可求得答案.

（1）橢圓：的離心率為

，可得

故

右焦點(diǎn)到直線的距離為.

①當(dāng)時，將代入

可得

整理可得：

即

解得：（舍去）或

由，可得，即

根據(jù)

可得：

②當(dāng)時，將代入

可得

整理可得：

方程無解

（2）過點(diǎn)作與坐標(biāo)軸不垂直的直線

設(shè)直線的方程為

聯(lián)立直線的方程和橢圓方程可得：，消掉

可得：

根據(jù)韋達(dá)定理可得：

設(shè)線段的中點(diǎn)，

則，

是正三角形

且

根據(jù)，可得

由可得：

可得：，解得：

設(shè)，將其代入

可得

可得

故在軸上是存在點(diǎn)，使得為正三角形，坐標(biāo)為，