Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；

（2）記t=lnx+x，通過討論a的范圍，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)判斷a的范圍即可．

（1）定義域?yàn)椋?/span>，

當(dāng)時(shí)，.

∴在時(shí)為減函數(shù)；在時(shí)為增函數(shù).

（2）記，則在上單增，且.∴ .∴在上有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于在上有兩個(gè)零點(diǎn).

①在時(shí)，在上單增，且，故無零點(diǎn)；②在時(shí)，在上單增，又，，故在上只有一個(gè)零點(diǎn)；

③在時(shí)，由可知在時(shí)有唯一的一個(gè)極小值.

若，，無零點(diǎn)；若，，只有一個(gè)零點(diǎn)；若時(shí)，，而，由于在時(shí)為減函數(shù)，可知：時(shí)，.從而，∴在和上各有一個(gè)零點(diǎn).綜上討論可知：時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)，即所求的取值范圍是.