【題目】已知橢圓
的左右焦點(diǎn)分別為
和
，由4個(gè)點(diǎn)
、
、
和
組成了一個(gè)高為
，面積為
的等腰梯形．
（1）求橢圓的方程；
（2）過點(diǎn)的直線和橢圓交于兩點(diǎn)
、
，求
面積的最大值．
【答案】（1）
（2）3
【解析】
（1）由梯形的條件得
，
，求得
，
后得橢圓方程；
（2）直線的斜率不能為0，設(shè)直線方程為
，直線與橢圓交于
，
．
直線方程代入橢圓方程化簡(jiǎn)后應(yīng)用韋達(dá)定理得
，而
的面積為
，代入后，變形整理，令
換元后由函數(shù)單調(diào)性可得面積的最大值．
解：（1）由條件，得，且，所以
．
又
，解得
，
，所以橢圓的方程．
（2）顯然，直線的斜率不能為0，設(shè)直線方程為，直線與橢圓交于，．
聯(lián)立方程
，消去
得，
，
因?yàn)橹本�過橢圓內(nèi)的點(diǎn)，無論
為何值，直線和橢圓總相交．
∴
，
．
令，設(shè)
，易知
時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，
函數(shù)單調(diào)遞增，所以當(dāng)
即
時(shí)，
，
取最大值3．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】據(jù)《人民網(wǎng)》報(bào)道，美國(guó)國(guó)家航空航天局（NASA）發(fā)文稱，相比20年前世界變得更綠色了，衛(wèi)星資料顯示中國(guó)和印度的行動(dòng)主導(dǎo)了地球變綠.據(jù)統(tǒng)計(jì)，中國(guó)新增綠化面積的
來自于植樹造林，下表是中國(guó)十個(gè)地區(qū)在去年植樹造林的相關(guān)數(shù)據(jù).（造林總面積為人工造林、飛播造林、新封山育林、退化林修復(fù)、人工更新的面積之和）
單位：公頃
地區(qū) | 造林總面積 | 造林方式 | ||||
人工造林 | 飛播造林 | 新封山育林 | 退化林修復(fù) | 人工更新 | ||
內(nèi)蒙 | 618484 | 311052 | 74094 | 136006 | 90382 | 6950 |
河北 | 583361 | 345625 | 33333 | 13507 | 65653 | 3643 |
河南 | 149002 | 97647 | 13429 | 22417 | 15376 | 133 |
重慶 | 226333 | 100600 | 62400 | 63333 | ||
陜西 | 297642 | 184108 | 33602 | 63865 | 16067 | |
甘肅 | 325580 | 260144 | 57438 | 7998 | ||
新疆 | 263903 | 118105 | 6264 | 126647 | 10796 | 2091 |
青海 | 178414 | 16051 | 159734 | 2629 | ||
寧夏 | 91531 | 58960 | 22938 | 8298 | 1335 | |
北京 | 19064 | 10012 | 4000 | 3999 | 1053 | |
（1）請(qǐng)根據(jù)上述數(shù)據(jù)分別寫出在這十個(gè)地區(qū)中人工造林面積與造林總面積的比值最大和最小的地區(qū)；
（2）在這十個(gè)地區(qū)中，任選一個(gè)地區(qū)，求該地區(qū)新封山育林面積占造林總面積的比值超過
的概率；
（3）在這十個(gè)地區(qū)中，從退化林修復(fù)面積超過一萬公頃的地區(qū)中，任選兩個(gè)地區(qū)，記X為這兩個(gè)地區(qū)中退化林修復(fù)面積超過六萬公頃的地區(qū)的個(gè)數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
.
（1）討論函數(shù)
的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；
（2）若
（
為給定的常數(shù)，且
），記在區(qū)間
上的最小值為
，求證：
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
：
的離心率為
，右焦點(diǎn)到直線
的距離為
.
（1）求橢圓的方程；
（2）過點(diǎn)
作與坐標(biāo)軸不垂直的直線
與橢圓交于
，
兩點(diǎn)，在
軸上是否存在點(diǎn)
，使得
為正三角形，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】將函數(shù)
的圖象向左平移
個(gè)單位，然后縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>
倍，得到
的圖象，下面四個(gè)結(jié)論正確的是（ ）
A. 函數(shù)在區(qū)間
上為增函數(shù)
B. 將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
C. 點(diǎn)
是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心
D. 函數(shù)在
上的最大值為
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
（x＞0）．
（1）若a＝1，f(x)在（0，＋∞）上是單調(diào)增函數(shù)，求b的取值范圍；
（2）若a≥2，b＝1，求方程
在（0，1]上解的個(gè)數(shù)．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，已知梯形
中，
，
，
，四邊形
為矩形，
，平面
平面．
（Ⅰ）求證：
平面
；
（Ⅱ）求平面與平面
所成銳二面角的余弦值；
（Ⅲ）在線段
上是否存在點(diǎn)
，使得直線
與平面所成角的正弦值為
，若存在，求出線段的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某職稱晉級(jí)評(píng)定機(jī)構(gòu)對(duì)參加某次專業(yè)技術(shù)考試的100人的成績(jī)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，繪制了頻率分布直方圖（如圖所示），規(guī)定80分及以上者晉級(jí)成功，否則晉級(jí)失敗．
晉級(jí)成功 | 晉級(jí)失敗 | 合計(jì) | |
男 | 16 | ||
女 | 50 | ||
合計(jì) |
（1）求圖中
的值；
（2）根據(jù)已知條件完成下面
列聯(lián)表，并判斷能否有
的把握認(rèn)為“晉級(jí)成功”與性別有關(guān)？
（3）將頻率視為概率，從本次考試的所有人員中，隨機(jī)抽取4人進(jìn)行約談，記這4人中晉級(jí)失敗的人數(shù)為
，求的分布列與數(shù)學(xué)期望
．
（參考公式：
，其中
）
| 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 |
| 0.780 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 |
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在
軸上的橢圓，下頂點(diǎn)
，且離心率
.
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）經(jīng)過點(diǎn)
且斜率為
的直線
交橢圓于
， 
兩點(diǎn).在
軸上是否存在定點(diǎn)
，使得
恒成立？若存在，求出點(diǎn)
坐標(biāo)；若不存在，說明理由.
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