Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

（2）若（為給定的常數(shù)，且），記在區(qū)間上的最小值為，求證：.

Answer 1

【答案】（1）①當(dāng)時(shí)，無零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)；（2）證明見解析.

【解析】

（1）根據(jù)解析式求得導(dǎo)函數(shù)，并令求得極值點(diǎn).在極值點(diǎn)兩側(cè)，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，并求得最小值.結(jié)合當(dāng)及時(shí)函數(shù)值特征，即可確定零點(diǎn)個(gè)數(shù).

（2）根據(jù)及，可得.進(jìn)而確定的表達(dá)式，代入不等式化簡(jiǎn)變形，并令，構(gòu)造函數(shù)，求得后由導(dǎo)函數(shù)符號(hào)判斷的單調(diào)性及最值，即可證明不等式成立.

（1）函數(shù)，

則，

令，解得，

當(dāng)時(shí)，，所以在為單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，所以在為單調(diào)遞增；

所以，

當(dāng)時(shí)；

當(dāng)時(shí)；

①當(dāng)，即時(shí)，無零點(diǎn)；

②當(dāng)，即時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)；

③當(dāng)，即時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)；

（2）證明：因?yàn)?/span>，

所以，

由（1）可知在區(qū)間上的最小值，

，

所以不等式可化為

，

移項(xiàng)化簡(jiǎn)可得，

所以，

即，

令，則.

所以原不等式可化為，

令.

則，

所以在單調(diào)遞減，

則，

即成立，

原不等式得證.