Question

已知當(dāng)|x|＜

1

2

時，有

1

1+2x

=1-2x+4x²-…+（-2x）ⁿ+…，根據(jù)以上信息，若對任意|x|＜

1

2

，都有

x

(1-x3)(1+2x)

=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ+…，則a₁₀=

 

．

Answer 1

考點：類比推理

專題：推理和證明

分析：對照已知，可得當(dāng)|x|＜

1

2

時，有

1

1-x3

=1+x³+x⁶+x⁹+…+（x³）ⁿ+…，要求a₁₀即為x¹⁰的系數(shù)，然后根據(jù)分類計數(shù)原理，即可得答案．

解答： 解：∵當(dāng)|x|＜

1

2

時，有

1

1+2x

=1-2x+4x²-…+（-2x）ⁿ+…，①
∴當(dāng)|x|＜

1

2

時，有

1

1-x3

=1+x³+x⁶+x⁹+…+（x³）ⁿ+…，②
又對任意|x|＜

1

2

，都有

x

(1-x3)(1+2x)

=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ+…，
∴a₁₀即為x¹⁰的系數(shù)，可取①中的（-2x）⁹，②中的1，或①中（-2x）⁶，②中的x³，
或①中的（-2x）³，②中的x⁶，或①中的1，②中的x⁹，
∴a₁₀=（-2）⁹+（-2）⁶+（-2）³+1=-455，
故答案為：-455．

點評：本題考查類比推理的思想方法，考查形式上的類比，同時考查分類計數(shù)原理，注意不重不漏．