Question

已知直線Ax+By+C=0與圓x²+y²=1相交于P，Q兩點，其中A²，C²，B²成等差數(shù)列，O為坐標原點，則

OP

•

PQ

=

 

．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算

專題：計算題,直線與圓

分析：由題意，直線Ax+By+C=0與圓x²+y²=2聯(lián)立，消去y，得到x的一元二次方程，求得x₁x₂；同理，可求得y₁y₂；從而求出

OP

•

PQ

的值．

解答： 解：設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則由方程組

Ax+By+C=0 x2+y2=1

消去y，
得（A²+B²）x²+2ACx+（C²-B²）=0，∴x₁x₂=

C2-B2

A2+B2

；
由

Ax+By+C=0 x2+y2=1

消去x，得（A²+B²）y²+2BCy+（C²-A²）=0，∴y₁y₂=

C2-A2

A2+B2

；
∴

OP

•

PQ

=x₁x₂+y₁y₂=

C2-B2

A2+B2

+

C2-A2

A2+B2

=

2C2-A2-B2

A2+B2

，
∵A²，C²，B²成等差數(shù)列，
∴2C²=A²+B²，
∴

OP

•

PQ

=0．
故答案為：0．

點評：本題考查向量的數(shù)量積公式、二次方程的韋達定理、直線與圓的位置關系，屬于基礎題．