Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=loga（ ﹣mx）在R上為奇函數(shù)，a＞1，m＞0． （Ⅰ）求實(shí)數(shù)m的值；
（Ⅱ）指出函數(shù)f（x）的單調(diào)性．（不需要證明）
（Ⅲ）設(shè)對(duì)任意x∈R，都有f（ cosx+2t+5）+f（ sinx﹣t2）≤0；是否存在a的值，使g（t）=a ﹣2t+1最小值為﹣ ．

Answer 1

【答案】解：（I）f（﹣x）=﹣f（x）可得，loga（ +mx）=﹣loga（ ﹣mx）=loga（ ）， ∴（ +mx）=（ ），即 2x2+1﹣m2x2=1，∴m2=2，m= ．
（II）由（I）知 f（x）=loga（ ﹣ x）=loga（ ），
故函數(shù)f（x）在R上是減函數(shù)．
（III）又對(duì)任意x∈R，都有f（ cosx+2t+5）+f（ sinx﹣t2）≤0，
∴f（ cosx+2t+5）≤﹣f（ sinx﹣t2）=f（t2﹣ sinx），
∴ cosx+2t+5≥t2﹣ sinx，即 t2﹣2t﹣5≤ sinx+ cosx．
由于 sinx+ cosx=2sin（x+ ）≥﹣2，故 t2﹣2t﹣5≤﹣2，解得﹣1≤t≤3．
令n=2t ， 則n∈[ ，8]，令h（n）=g（t）=a ﹣2t+1 =an2﹣2n，二次函數(shù)h（n）的對(duì)稱(chēng)軸方程為n= ．
∵a＞1，∴0＜ ＜1．
當(dāng)0＜ ＜ 時(shí)，h（n）在[ ，8]上是增函數(shù)，h（n）的最小值為h（ ）= ﹣1=﹣ ，求得a= （舍去）．
當(dāng) ≤ ＜1時(shí)，h（n）的最小值為h（ ）=﹣ =﹣ ，求得a= ，滿(mǎn)足條件．
綜上可得，a=
【解析】（I）f（﹣x）=﹣f（x）可得（ +mx）=（ ），即 2x2+1﹣m2x2=1，由此求得m的值．（II）由 f（x）=loga（ ﹣ x）=loga（ ），可得函數(shù)f（x）在R上是減函數(shù)．（III）先由已知條件求得t2﹣2t﹣5≤﹣2，求得﹣1≤t≤3．令n=2t ， h（n）=g（t）=an2﹣2n，二次函數(shù)h（n）的對(duì)稱(chēng)軸方程為n= ．再根據(jù)g（t）最小值為﹣ ，利用二次函數(shù)的性質(zhì)、分類(lèi)討論求得a的值．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法和函數(shù)奇偶性的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(x)，y=f(u)的單調(diào)性密切相關(guān)，其規(guī)律：“同增異減”；在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除認(rèn)為奇函數(shù)；偶數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復(fù)合函數(shù)的奇偶性：一個(gè)為偶就為偶，兩個(gè)為奇才為奇才能正確解答此題．