Question

【題目】已知函數(shù) .

(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的極小值；

(2)若函數(shù)在有個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍；

(3)在(2)的條件下,若函數(shù)在的三個(gè)零點(diǎn)分別為,求證: .

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí),函數(shù)有極小值.（2）（3）見(jiàn)解析

【解析】分析：（1）求出導(dǎo)函數(shù)，由確定增區(qū)間，由確定減區(qū)間，從而可得極小值；

（2）首先的零點(diǎn)即是的零點(diǎn)，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)論；

（3）由（1）知，求得導(dǎo)函數(shù)，確定出的單調(diào)性與極值點(diǎn)，再由有三個(gè)零點(diǎn)，得出的范圍，同時(shí)由零點(diǎn)存在定理得三個(gè)零點(diǎn)各自的范圍，從而得證．

詳解： (1)當(dāng) 時(shí)，，，

則,解得,,解得或,

函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間和內(nèi)單調(diào)遞減,

當(dāng)時(shí),函數(shù)有極小值.

(2)設(shè)

函數(shù)在上有個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)在上有

個(gè)零點(diǎn)且，要使函數(shù)在上有個(gè)零點(diǎn),則

，解得，

即實(shí)數(shù)的取值范圍是.

(3)由(Ⅱ)得, ， .

，

則，解得,解得或，

，，

則，解得，解得或.

函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間和內(nèi)單調(diào)遞減.

若函數(shù)在上的三個(gè)零點(diǎn)分別為,不妨設(shè)

則，即，解得.

又當(dāng)時(shí), ；

當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí), ；

當(dāng)時(shí), ，

由函數(shù)零點(diǎn)存在性定理可得，

.