Question

【題目】已知橢圓.雙曲線(xiàn)的實(shí)軸頂點(diǎn)就是橢圓的焦點(diǎn)，雙曲線(xiàn)的焦距等于橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng).

（1）求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)與橢圓交于兩點(diǎn)，求的面積的最大值；

（3）設(shè)直線(xiàn)（其中為整數(shù)）與橢圓交于不同兩點(diǎn)，與雙曲線(xiàn)交于不同兩點(diǎn)，問(wèn)是否存在直線(xiàn)，使得向量，若存在，指出這樣的直線(xiàn)有多少條？若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）存在，

【解析】

（1）根據(jù)橢圓方程可以得到雙曲線(xiàn)的焦距和頂點(diǎn)坐標(biāo)，從而直接寫(xiě)出雙曲線(xiàn)方程即可；

（2）設(shè)出直線(xiàn)方程，將三角形面積拆分為2個(gè)三角形的面積，從而利用韋達(dá)定理進(jìn)行處理；

（3）根據(jù)直線(xiàn)與兩個(gè)曲線(xiàn)相交，通過(guò)夾逼出的取值范圍，再結(jié)合向量相加為零轉(zhuǎn)化出的條件，得到之間的關(guān)系，從而利用是整數(shù)，對(duì)結(jié)果進(jìn)行取舍即可.

（1）對(duì)橢圓，因?yàn)?/span>，

故其焦點(diǎn)為，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為.

設(shè)雙曲線(xiàn)方程為，

由題可知：，解得.

故雙曲線(xiàn)的方程為：.

（2）因?yàn)橹本�(xiàn)AB的斜率顯然不為零，

故設(shè)直線(xiàn)方程為，聯(lián)立橢圓方程

可得

設(shè)交點(diǎn)，

則

則

又

故

令，解得

故

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取得最大值.

故的面積的最大值為.

（3）聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程

可得

整理得 ①

設(shè)直線(xiàn)與橢圓的交點(diǎn)為

故可得 ②

同理：聯(lián)立直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)方程

可得

整理得 ③

設(shè)直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的交點(diǎn)為

故可得 ④

要使得

即可得

故可得

將②④代入可得

解得.

綜上所述，要滿(mǎn)足題意，只需使得：

故當(dāng)時(shí)，可以取得滿(mǎn)足題意；

即直線(xiàn)方程可以為

當(dāng)時(shí)，可以取滿(mǎn)足題意.

即直線(xiàn)方程可以為

故存在這樣的直線(xiàn)有9條，能夠使得.