Question

【題目】若函數(shù)和同時(shí)在處取得極小值，則稱和為一對(duì)“函數(shù)”.

（1）試判斷與是否是一對(duì)“函數(shù)”；

（2）若與是一對(duì)“函數(shù)”.

①求和的值；

②當(dāng)時(shí)，若對(duì)于任意，恒有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）與不是一對(duì)“P(1)函數(shù)”，詳見解析（2）①或.②

【解析】

（1）利用“函數(shù)”定義證明函數(shù)與不是一對(duì)“函數(shù)”；（2）①對(duì)a分a＞0，a＜0和a=0三種情況討論，利用“函數(shù)”的定義求出和的值；② 原命題等價(jià)于，構(gòu)造函數(shù)求其最大值得解.

解:令.

(1)則，

因?yàn)?/span>與是一對(duì)“P(1)函數(shù)”

所以，所以.

此時(shí)，因，無極小值，

故與不是一對(duì)“P(1)函數(shù)”.

(2)①， ，

，，

若與是一對(duì)“函數(shù)”，

由，得，

1.若，則有

	+	0	-	0	+
	↗	極大值	↘	極小值	↗

因?yàn)?/span>在處取得極小值，所以，

從而，

經(jīng)驗(yàn)證知在處取得極小值，所以，

2.當(dāng)時(shí)，則有

	+	0	-	0	+
	↗	極大值	↘	極小值	↗

因?yàn)?/span>在處取得極小值，所以；

從而，

令，

在是減函數(shù)，且，所以，從而

經(jīng)驗(yàn)證知在處取得極小值，所以

3.當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)，無極小值，與題設(shè)不符.

綜上所述：或.

②因?yàn)?/span>，由①之結(jié)論知，，

易見，

故不等式等價(jià)于：，

令，則.

因?yàn)?/span>，所以單調(diào)遞減，

所以，從而.