【題目】若函數(shù)
和
同時在
處取得極小值，則稱
和
為一對“
函數(shù)”.
（1）試判斷
與
是否是一對“
函數(shù)”；
（2）若
與
是一對“函數(shù)”.
①求
和
的值；
②當(dāng)
時，若對于任意
，恒有
，求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
【答案】（1）
與
不是一對“P(1)函數(shù)”，詳見解析（2）①
或
.②
【解析】
（1）利用“
函數(shù)”定義證明函數(shù)
與
不是一對“函數(shù)”；（2）①對a分a＞0，a＜0和a=0三種情況討論，利用“
函數(shù)”的定義求出
和
的值；② 原命題等價于
，構(gòu)造函數(shù)
求其最大值得解.
解:令
.
(1)則
，
因?yàn)?/span>與是一對“P(1)函數(shù)”
所以
，所以
.
此時，因
，
無極小值，
故與不是一對“P(1)函數(shù)”.
(2)①
，
，
，
，
若
與
是一對“
函數(shù)”，
由
，得
，
1.若
，則有
|
|
|
|
|
|
| + | 0 | - | 0 | + |
| ↗ | 極大值 | ↘ | 極小值 | ↗ |
因?yàn)?/span>
在
處取得極小值，所以
，
從而
，
經(jīng)驗(yàn)證知
在
處取得極小值，所以，
2.當(dāng)
時，則有
|
|
|
|
|
|
| + | 0 | - | 0 | + |
| ↗ | 極大值 | ↘ | 極小值 | ↗ |
因?yàn)?/span>在處取得極小值，所以
；
從而
，
令
，
在
是減函數(shù)，且
，所以
，從而
經(jīng)驗(yàn)證知
在
處取得極小值，所以
3.當(dāng)
時，
，是增函數(shù)，無極小值，與題設(shè)不符.
綜上所述：或.
②因?yàn)?/span>，由①之結(jié)論知，
，
易見
，
故不等式
等價于：，
令，則
.
因?yàn)?/span>
，所以
單調(diào)遞減，
所以
，從而.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
.雙曲線
的實(shí)軸頂點(diǎn)就是橢圓
的焦點(diǎn)，雙曲線的焦距等于橢圓的長軸長.
（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)直線
經(jīng)過點(diǎn)
與橢圓交于
兩點(diǎn)，求
的面積的最大值；
（3）設(shè)直線
（其中為
整數(shù)）與橢圓交于不同兩點(diǎn)，與雙曲線交于不同兩點(diǎn)
，問是否存在直線，使得向量
，若存在，指出這樣的直線有多少條？若不存在，請說明理由.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】為了解少年兒童的肥胖是否與常喝碳酸飲料有關(guān)，現(xiàn)對40名小學(xué)六年級學(xué)生進(jìn)行了問卷調(diào)查，并得到如下列聯(lián)表.平均每天喝
以上為“常喝”，體重超過
為“肥胖”.已知在全部40人中隨機(jī)抽取1人，抽到肥胖學(xué)生的概率為
.
常喝 | 不常喝 | 合計 | |
肥胖 | 3 | ||
不肥胖 | 5 | ||
合計 | 40 |
（1）請將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整；
（2）是否有
的把握認(rèn)為肥胖與常喝碳酸飲料有關(guān)？請說明你的理由.
參考公式：
①卡方統(tǒng)計量
，其中
為樣本容量；
②獨(dú)立性檢驗(yàn)中
的臨界值參考表：
| 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】（本題滿分12分）如圖， 
是圓
的直徑，點(diǎn)
是圓
上異于
的點(diǎn)， 
垂直于圓
所在的平面，且
．
（Ⅰ）若
為線段
的中點(diǎn)，求證
平面
；
（Ⅱ）求三棱錐
體積的最大值；
（Ⅲ）若
，點(diǎn)
在線段
上，求
的最小值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
過點(diǎn)
，右焦點(diǎn)
是拋物線
的焦點(diǎn).
（1）求橢圓
的方程；
（2）已知動直線
過右焦點(diǎn)，且與橢圓分別交于
，
兩點(diǎn).試問
軸上是否存在定點(diǎn)
，使得
恒成立?若存在求出點(diǎn)的坐標(biāo):若不存在，說明理由.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，個人收入的提高，自2019年1月1日起，個人所得稅起征點(diǎn)和稅率的調(diào)整.調(diào)整如下：納稅人的工資、薪金所得，以每月全部收入額減除5000元后的余額為應(yīng)納稅所得額.依照個人所得稅稅率表，調(diào)整前后的計算方法如下表：
個人所得稅稅率表（調(diào)整前） | 個人所得稅稅率表（調(diào)整后） | ||||
免征額3500元 | 免征額5000元 | ||||
級數(shù) | 全月應(yīng)納稅所得額 | 稅率（%） | 級數(shù) | 全月應(yīng)納稅所得額 | 稅率（%） |
1 | 不超過1500元部分 | 3 | 1 | 不超過3000元部分 | 3 |
2 | 超過1500元至4500元的部分 | 10 | 2 | 超過3000元至12000元的部分 | 10 |
3 | 超過4500元至9000元的部分 | 20 | 3 | 超過12000元至25000元的部分 | 20 |
... | ... | ... | ... | ... | ... |
（1）假如小紅某月的工資、薪金等所得稅前收入總和不高于8000元，記
表示總收入，
表示應(yīng)納的稅，試寫出調(diào)整前后關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式；
（2）某稅務(wù)部門在小紅所在公司利用分層抽樣方法抽取某月100個不同層次員工的稅前收入，并制成下面的頻數(shù)分布表：
收入（元） |
|
|
|
|
|
|
人數(shù) | 30 | 40 | 10 | 8 | 7 | 5 |
先從收入在
及
的人群中按分層抽樣抽取7人，再從中選2人作為新納稅法知識宣講員，求兩個宣講員不全是同一收入人群的概率；
（3）小紅該月的工資、薪金等稅前收入為7500元時，請你幫小紅算一下調(diào)整后小紅的實(shí)際收入比調(diào)整前增加了多少？
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某公司為了解廣告投入對銷售收益的影響，在若干地區(qū)各投入4萬元廣告費(fèi)用，并將各地的銷售收益繪制成頻率分布直方圖（如圖所示）.由于工作人員失誤，橫軸的數(shù)據(jù)丟失，但可以確定橫軸是從0開始計數(shù)的.
（1）根據(jù)頻率分布直方圖計算圖中各小長方形的寬度；
（2）估計該公司投入4萬元廣告費(fèi)用之后，對應(yīng)銷售收益的平均值（以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的取值）；
（3）該公司按照類似的研究方法，測得另外一些數(shù)據(jù)，并整理得到下表：
廣告投入x（單位：萬元） | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
銷售收益y（單位：萬元） | 1 | 3 | 4 | 7 |
表中的數(shù)據(jù)顯示，x與y之間存在線性相關(guān)關(guān)系，請將（2）的結(jié)果填入上表的空白欄，并計算y關(guān)于x的回歸方程.
回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為
，
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知圓
，圓N與圓M關(guān)于直線
對稱.
（1）求圓N的方程.
（2）是否存在過點(diǎn)P的無窮多對互相垂直的直線
和
，使得被圓M截得的弦長與被圓N截得的弦長相等？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.
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