Question

【題目】已知橢圓過(guò)點(diǎn)，右焦點(diǎn)是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）已知?jiǎng)又本�(xiàn)過(guò)右焦點(diǎn)，且與橢圓分別交于，兩點(diǎn).試問(wèn)軸上是否存在定點(diǎn)，使得恒成立?若存在求出點(diǎn)的坐標(biāo):若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2)見(jiàn)解析

【解析】

(1) 由橢圓過(guò)點(diǎn)，得，由拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，得，利用即可求解a則方程可求；（2）假設(shè)在軸上存在定點(diǎn)，當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，由，解得或；當(dāng)直線(xiàn)的斜率為0時(shí)，由，解得或，可得，得點(diǎn)的坐標(biāo)為.再證明當(dāng)時(shí)恒成立. 設(shè)直線(xiàn)的斜率存在且不為0時(shí)，其方程為，與橢圓聯(lián)立消去y得韋達(dá)定理,向量坐標(biāo)化得整理代入韋達(dá)定理即可

（1）因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn)，所以，

又拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，所以.

所以，解得（舍去）或.

所以橢圓的方程為.

（2）假設(shè)在軸上存在定點(diǎn)，使得.

①當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，則，，，，

由，解得或；

②當(dāng)直線(xiàn)的斜率為0時(shí)，則，，，，

由，解得或.

由①②可得，即點(diǎn)的坐標(biāo)為.

下面證明當(dāng)時(shí)，恒成立.

當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在或斜率為0時(shí)，由①②知結(jié)論成立.

當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)其方程為，，.直線(xiàn)與橢圓聯(lián)立得，

直線(xiàn)經(jīng)過(guò)橢圓內(nèi)一點(diǎn)，一定與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，且，.

，

所以

恒成立

綜上所述，在軸上存在點(diǎn)，使得恒成立.