Question

【題目】如圖，在四棱錐 中，底面 為直角梯形， ，且 ， 平面 .

（1）求 與平面 所成角的正弦值；
（2）棱 上是否存在一點 滿足 ?若存在，求 的長；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】
（1）解：依題意，以 為坐標原點，分別以 為 軸建立空間直角坐標系 ，則 ，從而 .
設平面 的法向量為 ,則 ，且 ，
即 ，且 ，不妨取 ，則 ，
所以平面 的一個法向量 ,
此時 ，所以 與平面 所成角的正弦值為 ；

（2）解：設 ，則
則 ，
由 得 ，
化簡得， ，該方程無解，
所以，棱 上不存在一點 滿足
【解析】（1）根據題目中所給的條件的特點，以A為坐標原點建立空間直角坐標系，利用空間向量求直線與平面的夾角 ， 即可求PB與平面PCD所成角的正弦值；
（2）先假設存在E符合條件，利用空間向量垂直的性質列出方程，問題轉化為判定方程在[0，1]上是否有解即可得出結論．