Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=lnx﹣tx+t.

（1）討論f（x）的單調(diào)性；

（2）當(dāng)t=2時(shí),方程f（x）=m﹣ax恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1,x2,證明：.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)t≤0時(shí),f（x）在（0,+∞）上單調(diào)遞增；當(dāng)t＞0時(shí),f（x）在（0,）上單調(diào)遞增,在（,+∞）上單調(diào)遞減；（2）證明見(jiàn)解析.

【解析】

(1)求導(dǎo)后分和兩種情況討論極值點(diǎn)的大小關(guān)系以及導(dǎo)函數(shù)的正負(fù),進(jìn)而求得原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.

(2)代入,根據(jù)f（x）=m﹣ax,可得的兩根分別為,再消去化簡(jiǎn)得到,再代入所證的,換元令,進(jìn)而求導(dǎo)分析導(dǎo)數(shù)的正負(fù)以及原函數(shù)的單調(diào)性即可.

（1）f（x）的定義域?yàn)椋?/span>0,+∞）,f′（x）,

當(dāng)t≤0時(shí),f′（x）＞0恒成立,f（x）在（0,+∞）上單調(diào)遞增,

當(dāng)t＞0時(shí),令f′（x）＞0,得0＜x,令f′（x）＜0,得x.

∴f（x）在（0,）上單調(diào)遞增,在（,+∞）上單調(diào)遞減.

綜上所述,當(dāng)t≤0時(shí),f（x）在（0,+∞）上單調(diào)遞增；

當(dāng)t＞0時(shí),f（x）在（0,）上單調(diào)遞增,在（,+∞）上單調(diào)遞減.

（2）證明：由f（x）=m﹣ax,得lnx+（a﹣2）x+2﹣m=0.

令g（x）=lnx+（a﹣2）x+2,則g（x1）=g（x2）=m.

即lnx1+（a﹣2）x1=lnx2+（a﹣2）x2,

∴a﹣2.

不妨設(shè)0＜x1＜x2,要證,

只需證2（2﹣a）,即證.

令（c＞1）,g（c）=2lnc﹣c,

∵g′（c）0.

∴g（c）在（1,+∞）上單調(diào)遞減,則g（c）＜g（1）=0.

故成立.