Question

【題目】如圖，已知內(nèi)接于圓O，AB是圓O的直徑，四邊形DBCE為平行四邊形，F是CD的中點(diǎn)，

（1）證明：平面ADE；

（2）若四邊形DBCE為矩形，且四邊形DBCE所在的平面與圓O所在的平面互相垂直，，AE與圓O所在的平面的線面角為60°.求二面角的平面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）連結(jié)BE，證出，再利用線面平行的判定定理即證.

（2）利用面面垂直的性質(zhì)定理證出平面ABC，以C點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面AED的一個(gè)法向量與平面AEB的一個(gè)法向量，利用空間向量的數(shù)量積即可求解.

（1）連結(jié)BE，∵DBCE平行四邊形且F為CD中點(diǎn)

∴F為BE中點(diǎn)，又∵O為AB的中點(diǎn)∴

∵平面ADE，平面ADE

∴平面ADE.

（2）∵矩形平面ABC，平面平面，

，平面DBCE，∴平面ABC

又∵AB為圓O的直徑，∴

∴以C點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸，為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

∵，∴，

由平面ABC得，就是AE與平面ABC所成的角

由得，

∴，，，

∴，，

設(shè)平面AED的一個(gè)法向量，

由，，得，，

即，令，則，所以

同理可得，平面AEB的一個(gè)法向量

∴

∴二面角的平面角的余弦值為.