Question

【題目】已知函數(shù)，.

（Ⅰ）求函數(shù)在上的最值；

（Ⅱ）若對，總有成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）①當時，滿足條件的不存在；

②當即時，；

③當即時，

（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）解出導(dǎo)函數(shù)方程的根，討論根與給定區(qū)間關(guān)系，分類討論函數(shù)單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)最值.

（Ⅱ）對進行等價變換構(gòu)造新函數(shù)，解決恒成立問題；分離參數(shù)，不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求最值可解.

（Ⅰ）因為；令得，.

當時，，單調(diào)遞減；

當時，，單調(diào)遞增.

①當時，滿足條件的不存在；

②當即時，；

③當即時，.

（Ⅱ）因為，

等價于，令，

因為，總有成立，所以，在上單調(diào)遞增.問題化為對恒成立.

即對恒成立.

令，則.由得，.

當時，，遞增，當時，，遞減，

，故的取值范圍是：.