Question

【題目】已知扇環(huán)如圖所示，是扇環(huán)邊界上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則的取值范圍為_________.

Answer 1

【答案】

【解析】

建立直角坐標(biāo)系，易知，分以下四種情況討論：（1）當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)；（2）當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)；（3）當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)；（4）當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí).（1）（2）根據(jù)點(diǎn)P的坐標(biāo)范圍可得出x和y的范圍，從而可求的范圍；（3）（4）同理，可利用圓的的參數(shù)方程表示，從而得到的三角函數(shù)表達(dá)式，根據(jù)輔助角公式即可得到結(jié)果.

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸建立平面直角坐標(biāo)系，易知，

（1）當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，向量與共線，顯然，

此時(shí)，因?yàn)辄c(diǎn)在上，

其橫坐標(biāo)滿足：，所以；

（2）當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，向量與共線，顯然，

此時(shí)，因?yàn)辄c(diǎn)在上，

其橫坐標(biāo)滿足：，

則，所以；

（3）當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)，

由，得，

即，可得，

變形可得，其中，

因?yàn)?/span>是扇環(huán)邊界上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足，所以均為非負(fù)實(shí)數(shù)，

，因?yàn)?/span>，

所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，的最大值為，

由，所以當(dāng)時(shí)，取得最大角，

此時(shí)取得最小值，即，

所以，的最小值為1；

（4）同理可得當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，因?yàn)?/span>，

故的最大值為，最小值為.

綜上所述，.

【點(diǎn)晴】

本題考查平面向量的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是三角恒等變形、分類討論思想以及數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，屬難題.