Question

已知拋物線：y=-

1

4

x2上點（2，-1）的切線為L，圓C的圓心為拋物線的焦點，圓C在直線L上截得的弦長為2

7

．
（1）求圓C的方程；
（2）設圓C與x軸、y軸正半軸分別交于A、B兩點，點C在拋物線上，求△ABC面積的最小值．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：

分析：（1）對拋物線的方程求導把x=2帶入可求得L的斜率，進而可得直線L的方程，設出圓的標準方程，利用點到直線的距離求得圓心到直線L的距離，進而求得r，利用拋物線的出求得拋物線的焦點即圓C的圓心．則圓的方程可得到．
（2）根據(jù)圓的方程求得A，B的坐標，進而利用兩點式求得直線AB的方程，設出點C的坐標，表示出C到直線AB的距離，進而表示出三角形ABC的面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得答案．

解答： 解：（1）依題意知拋物線方程為：x²=-4y，
∴拋物線的焦點F坐標為（0，-1），
y′=2•（-

1

4

）x=-

1

2

x，把x=2帶入得y=-1，
即L的斜率為-1，
∴直線L的方程為x+y-1=0，
設圓C的方程為x²+（y+1）²=r²，
圓心C到直線L的距離為

|0-1-1|

2

=

2

，
∴r²=（

2

）²+（

7

）²=9，
∴圓C的方程為x²+（y+1）²=9．
（2）由（1）中圓的方程，把x=0，y=0分別代入求得A的坐標（2

2

，0），B的坐標（0，2），
∴|AB|=2

3

∴直線AB的方程為：2y+

2

x-4=0．
設C點坐標為（t，-

1

4

t²），
∴C到直線AB的距離d=

| 2 t- 1 2 t2-4|

4+2

=

| 2 t- 1 2 t2-4|

6

，
∴S_△ABC=

1

2

AB•d=

1

2

•2

3

•

| 2 t- 1 2 t2-4|

6

，
當t=

2

時，|

2

t-

1

2

t²-4|有最小值，
∴S_△ABC的最小值為

1

2

×2

3

×

3

6

=

3 2

2

．

點評：本題主要考查了拋物線的方程，圓的標準方程，直線與圓的位置關(guān)系，點到直線的距離等知識．考查了學生數(shù)形結(jié)合思想的運用和基本的運算推理能力．