Question

已知A、B、C是拋物線y²=2px上的三點(diǎn)，且BC與x軸垂直，直線AB，AC分別與拋物線的軸交于D、E兩點(diǎn)，求證：拋物線的頂點(diǎn)平分線段DE．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：先設(shè)出拋物線的參數(shù)方程及B，C，A的坐標(biāo)，則直線AC，AB的直線方程可表示出來，進(jìn)而求得AC，AB與x軸的交點(diǎn)D，E的坐標(biāo)，進(jìn)而可證明結(jié)論．

解答： 解：拋物線參數(shù)方程為y=t，x=′

t2

2p

，
設(shè)B（

t 2 1

2p

，t₁），C（

t 2 1

2p

，-t₁），A（

t 2 2

2p

，t₂）
所以求得AC的直線方程為
y-t₂=

(t2-t1)(x- t 2 2 2p )

t 2 2 2p - t 2 1 2p

化簡y-t₂=

2p(x- t 2 2 2p )

t1+t2

同理求得直線AB方程為
y-t₂=

2p(x- t 2 2 2p )

t2-t1

，
∴可以求出AB、AC與x軸即拋物線軸交點(diǎn)
D（-

t1•t2

2p

，0）、E（

t1t2

2p

，0）
所以，拋物線的頂點(diǎn)平分線段DE

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線的方程，參數(shù)方程，直線方程的相關(guān)問題．考查了學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)綜合運(yùn)用．