Question

【題目】已知函數(shù) ．任取t∈R，若函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+1]上的最大值為M（t），最小值為m（t），記g（t）=M（t）﹣m（t）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期及對(duì)稱軸方程；
（2）當(dāng)t∈[﹣2，0]時(shí)，求函數(shù)g（t）的解析式；
（3）設(shè)函數(shù)h（x）=2|x﹣k|，H（x）=x|x﹣k|+2k﹣8，其中實(shí)數(shù)k為參數(shù)，且滿足關(guān)于t的不等式 有解，若對(duì)任意x1∈[4，+∞），存在x2∈（﹣∞，4]，使得h（x2）=H（x1）成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數(shù) ，

則f（x）的最小正周期為 ；

令 ，解得f（x）的對(duì)稱軸方程為x=2k+1（x∈Z）；

（2）解：①當(dāng) 時(shí)，在區(qū)間[t，t+1]上， ，

m（t）=f（﹣1）=﹣1，

∴ ；

②當(dāng) 時(shí)，在區(qū)間[t，t+1]上， ，

m（t）=f（﹣1）=﹣1，

∴ ；

③當(dāng)t∈[﹣1，0]時(shí)，在區(qū)間[t，t+1]上， ，

，

∴ ；

∴當(dāng)t∈[﹣2，0]時(shí)，函數(shù) ；

（3）解：∵ 的最小正周期T=4，

∴M（t+4）=M（t），m（t+4）=m（t），

∴g（t+4）=M（t+4）﹣m（t+4）=M（t）﹣m（t）=g（t）；

∴g（t）是周期為4的函數(shù)，研究函數(shù)g（t）的性質(zhì)，只須研究函數(shù)g（t）在t∈[﹣2，2]時(shí)的性質(zhì)即可；

仿照（2），可得 ；

畫出函數(shù)g（t）的部分圖象，如圖所示，

∴函數(shù)g（t）的值域?yàn)? ；

已知 有解，即 k≤4g（t）max=4 ，

∴k≤4；

若對(duì)任意x1∈[4，+∞），存在x2∈（﹣∞，4]，使得h（x2）=H（x1）成立，

即H（x）在[4，+∞）的值域是h（x）在（﹣∞，4]的值域的子集．

∵ ，

當(dāng)k≤4時(shí)，∵h(yuǎn)（x）在（﹣∞，k）上單調(diào)遞減，在[k，4]上單調(diào)遞增，

∴h（x）min=h（k）=1，

∵H（x）=x|x﹣k|+2k﹣8在[4，+∞）上單調(diào)遞增，

∴H（x）min=H（4）=8﹣2k，

∴8﹣2k≥1，即 ；

綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．

【解析】（1）根據(jù)正弦型函數(shù)f（x）的解析式求出它的最小正周期和對(duì)稱軸方程；（2）分類討論 、 和t∈[﹣1，0]時(shí)，求出對(duì)應(yīng)函數(shù)g（t）的解析式；（3）根據(jù)f（x）的最小正周期T，得出g（t）是周期函數(shù)，研究函數(shù)g（t）在一個(gè)周期內(nèi)的性質(zhì)，求出g（t）的解析式；畫出g（t）的部分圖象，求出值域，利用不等式 求出k的取值范圍，再把“對(duì)任意x1∈[4，+∞），存在x2∈（﹣∞，4]，使得h（x2）=H（x1）成立”轉(zhuǎn)化為“H（x）在[4，+∞）的值域是h（x）在（﹣∞，4]的值域的子集“，從而求出k的取值范圍．