Question

【題目】在四棱錐中，，，，為棱上一點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），且滿(mǎn)足.

（1）求證：平面平面；

（2）為的中點(diǎn)，求二面角的余弦值的大小.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）根據(jù)傳遞性，由平面，得到平面平面

（2）作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，建立空間直角坐標(biāo)系，求出各平面法向量后根據(jù)夾角公式求得二面角余弦值

（1）證明：因?yàn)?/span>，，所以，

又，，所以平面，

又平面，所以平面平面.

（2）

如圖，作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，

則，，兩兩垂直，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，

直線(xiàn)，，分別為軸、軸、軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)，則，，，所以，

又，所以，，，

所以，，，，.

因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，所以.

，，

令為平面的法向量，

則有即

不妨設(shè)，則.

易知平面的一個(gè)法向量為，

.

因?yàn)槎��?/span>為鈍角，

所以二面角的余弦值為.