Question

【題目】設斜率不為0的直線與拋物線交于兩點，與橢圓交于兩點，記直線的斜率分別為.

（1）求證：的值與直線的斜率的大小無關；

（2）設拋物線的焦點為，若，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)詳見解析；(Ⅱ) ．

【解析】試題分析：（Ⅰ）由直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，求得，求得，

再直線與橢圓方程聯(lián)立，求得，求的，代入化簡，即可得到結論．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，由得求得，由（1）中，求得弦長，再利用點到直線的距離公式，求得點到直線的距離，即可得到面積的表達式，進而求解面積的最大值．

試題解析：

（Ⅰ）設直線l：，，，，．

聯(lián)立和，得，則，，

，

聯(lián)立和得，

在的情況下，

，，

，

所以 是一個與k無關的值．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，而由得

得m=4（m=0顯然不合題意），

此時， ，，

，　　

點到直線的距離，

所以，　

（求面積的另法：將直線l與y軸交點（0,4）記為E，則

，也可得到）

設，則，

當且僅當，即時，有最大值．