Question

【題目】在平面直角坐標系 中，過橢圓 右焦點的直線交于兩點 ， 為的中點，且 的斜率為 .

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設過點的直線（不與坐標軸垂直）與橢圓交于 兩點，若在線段上存在點，

使得，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：

(1)利用題意求得 ，則橢圓 的方程為 .

(2)由題意聯(lián)立直線與橢圓的方程，整理可得關于t的函數(shù)，據(jù)此可得 的取值范圍是 .

試題解析：

解：(1) 設 ,則 ，相減得，

，由題意知 ，設 ，因為為的中點，且的斜率為 ，所以 ，即 ，所以可以解得 ，即 ，即 ，又因為 ，所以橢圓 的方程為 .

(2) 設線段的中點為 ，因為，所以，設直線的方程為 ，代入橢圓 的方程為，得 ，設 ，則 .則 ，即 ，

由已知得 ，整理得 ，因為 ，所以 ,

所以 的取值范圍是 .