Question

【題目】已知函數(shù).

(1)若只有個(gè)正整數(shù)解，求的取值范圍；

(2)①求證：方程有唯一實(shí)根，且；

②求的最大值.

Answer 1

【答案】(1)；(2)①見解析；②

【解析】

(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，可知當(dāng)時(shí)，取得極大值，又，計(jì)算可知，只需再比較與的大小，即可求出的取值范圍；

(2)①由方程可得，發(fā)現(xiàn)等式兩側(cè)結(jié)構(gòu)一致，可構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性后可得，設(shè)，再利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性并結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，即可得證；

② ，求導(dǎo)可得，結(jié)合①可判斷的單調(diào)性，進(jìn)而可求出的最大值.

(1)因?yàn)?/span>，所以，令，得，

所以時(shí)，，是增函數(shù)，

時(shí)，是減函數(shù)，

所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，

因?yàn)?/span>，，又，

所以，又，

所以只有個(gè)正整數(shù)解為，，即的取值范圍是.

(2)①方程，即，

由得，，，

設(shè)，則，且，，

因?yàn)?/span>，所以在上為增函數(shù)，

所以，即

設(shè)，則在為增函數(shù)，且，，

所以存在唯一，使得，

即方程有唯一實(shí)根，且.

②，

則，

由①知有唯一零點(diǎn)，所以有唯一零點(diǎn)，

結(jié)合，，

可得時(shí)，，是增函數(shù)，

時(shí)，是減函數(shù)，

所以，

所以的最大值為.