Question

【題目】已知在極坐系中，點繞極點順時針旋轉(zhuǎn)角得到點.以為原點，極軸為軸非負半軸，并取相同的單位長度建立平面直角坐標系，曲線繞逆時針旋轉(zhuǎn)得到曲線.

（1）求曲線的直角坐標方程；

（2）點的極坐標為，直線過點且與曲線交于兩點，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）14.

【解析】

（1）求得點繞極點順時針旋轉(zhuǎn)得到點，代入曲線上，結(jié)合極坐標與直角坐標的互化公式，即可求求解；

（2）求得的直角坐標，設的參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入，利用參數(shù)的幾何意義和三角函數(shù)性質(zhì)，即可求解.

（1）設為曲線是任意一點，

則點繞極點順時針旋轉(zhuǎn)得到點在曲線上，

又由的直線坐標方程為，代入可得，

整理，所以，

即曲線的方程為.

（2）由點的極坐標為，可得的直角坐標為 ，

設的參數(shù)方程為（為參數(shù)），

代入，整理后可得，

所以，

當且僅當或時取等號，此時，符合條件，

故的最小值為14.