Question

如圖，在△ABC中，已知AB=4，AC=3，∠BAC=60°，點D，E分別是邊AB，AC上的點，且DE=2，則

S四邊形BCED

S△ABC

的最小值等于

 

．

Answer 1

考點：基本不等式

專題：常規(guī)題型,高考數(shù)學(xué)專題

分析：由∠BAC=60°想到三角形面積公式S=

1

2

acsinB，可設(shè)AD=x，AE=y，利用余弦定理與重要不等式求解．

解答： 解：設(shè)AD=x，AE=y（0＜x≤4，0＜y≤3），
由余弦定理得DE²=x²+y²-2xycos60°，即4=x²+y²-xy，
從而4≥2xy-xy=xy，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=2時等號成立．
所以

S四邊形BCED

S△ABC

=1-

S△ADE

S△ABC

=1-

1 2 xysin60°

1 2 ×3×4sin60°

=1-

xy

12

≥1-

4

12

=

2

3

，
即

S四邊形BCED

S△ABC

的最小值為

2

3

．
故答案為

2

3

．

點評：本題是重要不等式“x²+y²≥2xy”的一個應(yīng)用，涉及余弦定理和三角形面積公式，綜合性較強(qiáng)，考查學(xué)生對知識的遷移能力．