Question

【題目】已知橢圓：，其焦距為，若，則稱橢圓為“黃金橢圓”.黃金橢圓有如下性質(zhì)：“黃金橢圓”的左、右焦點(diǎn)分別是，，以,，，為頂點(diǎn)的菱形的內(nèi)切圓過(guò)焦點(diǎn)，.

（1）類比“黃金橢圓”的定義，試寫(xiě)出“黃金雙曲線”的定義；

（2）類比“黃金橢圓”的性質(zhì)，試寫(xiě)出“黃金雙曲線”的性質(zhì)，并加以證明.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析

【解析】分析：（1）“黃金雙曲線“的離心率為的倒數(shù)）．

（2）把橢圓結(jié)論中點(diǎn)與交換位置得雙曲線的性質(zhì)．

詳解：（1）黃金雙曲線的定義：已知雙曲線：，其焦距為，若（或?qū)懗?/span>），則稱雙曲線為“黃金雙曲線”.

（2）在黃金雙曲線的性質(zhì)：已知黃金雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別是、，

以、、、為頂點(diǎn)的菱形的內(nèi)切圓過(guò)頂點(diǎn)、.

證明：直線的方程為，原點(diǎn)到該直線的距離，

由及，得 ，

將代入，得，又將代入，化簡(jiǎn)得，

故直線與圓相切，同理可證直線、均與圓相切，即以、的直徑的圓為菱形的內(nèi)切圓，命題得證.