Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x﹣ln（x+a）的最小值為0，其中a＞0．
（1）求a的值；
（2）若對(duì)任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx2成立，求實(shí)數(shù)k的最小值；
（3）證明： （n∈N*）．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數(shù)的定義域?yàn)椋ī乤，+∞），求導(dǎo)函數(shù)可得

令f′（x）=0，可得x=1﹣a＞﹣a

令f′（x）＞0，x＞﹣a可得x＞1﹣a；令f′（x）＜0，x＞﹣a可得﹣a＜x＜1﹣a

∴x=1﹣a時(shí)，函數(shù)取得極小值且為最小值

∵函數(shù)f（x）=x﹣ln（x+a）的最小值為0，

∴f（1﹣a）=1﹣a﹣0，解得a=1

（2）解：當(dāng)k≤0時(shí)，取x=1，有f（1）=1﹣ln2＞0，故k≤0不合題意

當(dāng)k＞0時(shí)，令g（x）=f（x）﹣kx2，即g（x）=x﹣ln（x+1）﹣kx2，

求導(dǎo)函數(shù)可得g′（x）=

g′（x）=0，可得x1=0，

①當(dāng)k≥ 時(shí)， ，g′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，因此g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，從而對(duì)任意的x∈[0，+∞），總有g(shù)（x）≤g（0）=0，即對(duì)任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx2成立；

②當(dāng)0＜k＜ 時(shí)， ，對(duì)于 ，g′（x）＞0，因此g（x）在 上單調(diào)遞增，

因此取 時(shí)，g（x0）≥g（0）=0，即有f（x0）≤kx02不成立；

綜上知，k≥ 時(shí)對(duì)任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx2成立，k的最小值為

（3）證明：當(dāng)n=1時(shí)，不等式左邊=2﹣ln3＜2=右邊，所以不等式成立

當(dāng)n≥2時(shí)，

在（2）中，取k= ，得f（x）≤ x2，∴ （i≥2，i∈N*）．

∴ =f（2）+ ＜2﹣ln3+ =2﹣ln3+1﹣ ＜2

綜上， （n∈N*）

【解析】（1）確定函數(shù)的定義域，求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的最小值，利用函數(shù)f（x）=x﹣ln（x+a）的最小值為0，即可求得a的值；（2）當(dāng)k≤0時(shí)，取x=1，有f（1）=1﹣ln2＞0，故k≤0不合題意；當(dāng)k＞0時(shí)，令g（x）=f（x）﹣kx2 ， 即g（x）=x﹣ln（x+1）﹣kx2 ， 求導(dǎo)函數(shù)，令g′（x）=0，可得x1=0， ，分類討論：①當(dāng)k≥ 時(shí)， ，g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，g（x）≤g（0）=0；②當(dāng)0＜k＜ 時(shí)， ，對(duì)于 ，g′（x）＞0，因此g（x）在 上單調(diào)遞增，由此可確定k的最小值；（3）當(dāng)n=1時(shí)，不等式左邊=2﹣ln3＜2=右邊，不等式成立；當(dāng)n≥2時(shí)， ，在（2）中，取k= ，得f（x）≤ x2 ， 從而可得 ，由此可證結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)(求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值)．